MC-vragen voor 17 plussers (500-600) VARIA

Bewijzen van stellingen door
Volledige Inductie
onderwerp : Ongelijkheden

Klik op de formule en het bewijs komt rechts


n ! > 2ⁿ	¹¹
2ⁿ > n³ ( n = 10,11,...)	^F1
n² − n > 9n − 1 ∀ n > 9	^C2
∀ n > 5 : (n + 1)² < 2ⁿ	^L7
∀ n > 10 : n − 2 < (n² − n)	^L8
$1+\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}< \sqrt{n}$	⁰⁵
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}\; >\; 2\cdot \left ( \sqrt{n+1}-1 \right )$	⁷⁴
1² + 2² + 3² + ... + (n − 1)² < n³	^E5
1² + 2² + 3² + ... + n² > n³	⁵⁰
$n^3 \leqslant 3^n \quad \forall\, n \in \mathbb{N}$	⁵¹
n³ > (n + 5)² vanaf n = ?	⁵²
4ⁿ⁻¹ > n² vanaf n = 3	^N2
de ongelijkheid van Bernoulli	⁵³
$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\; < \; 2.\sqrt{n}$	⁵⁴
1,1ⁿ > 2n voor n = 21, 22, ...	⁵⁵
$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2n-1}{2n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$	⁵⁶
0² + 1² + 2² + ... + (n − 1)² > n² (n − 4)	⁵⁷
$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3\; \mathbf{>} \; \frac{n^4}{4}$	^K0
$\frac{1.3.5.\cdots .(2n-1)}{2\, .\, 4.\, 6\, .\cdots .(2n)}\geqslant \sqrt{\frac{5}{4(4n+1)}}$	⁵⁸
(2n) ! > 2ⁿ. (n !)² voor n = 2, 3, ...	⁶⁶
n ! < nⁿ voor n = 2, 3, 4, ...	⁷¹
$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}\; \leqslant \; 2 - \frac{1}{n}$	⁷⁵
$1,5\: < \: \frac{F_{k+1}}{F_{k}}\: \: \; < \; 2 \quad (FIBONACCI)$	⁸⁵
$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots +\frac{1}{(n+2)^2}\: < \: \frac{n}{2\, (n+2)}$	⁹²
$n\mathbf{!}\; > \; \left ( \, \frac{n}{e} \, \right )^n \qquad voor\; n=1,2,...$	⁹³
$\sqrt[n]{n!}>\frac n3 \quad (n=2,3,...)$	^Q5
$\left ( \frac{n+1}{2} \right )^n\; \geqslant \; n\, \mathbf{!} \qquad \forall \: n \in \mathbb{N}$	⁹⁴
$\left ( \frac{n}{3} \right )^n\, <\: n\, ! \qquad (n=1,2,...)$	^H1
$\sum_{i=1}^{2^n}\; \frac{1}{i}\; \geqslant \; 1+\frac{n}{2} \qquad \forall \: n\in \mathbb{N}$	⁹⁸
$\newline x_1=\sqrt{2},\; x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\cdots \newline x_n=\sqrt{2+x_n}\; < \; 2$	^A4
(2n) ! < 4ⁿ.(n !)² (n=1,2,3,...)	^C6
$\frac{(2n)\, !}{(n!)^2}\: > \: \frac{4^n}{n+1} \mathrm{\quad (n=3,4,...)}$	^B6
2!.4!.6!...(2n)! > [ (n+1)! ]ⁿ (n=2,3,...)	^B8
$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2n-1}{2n}\: \leqslant \: \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$	^C3
$\frac{1}{n\! +\! 1}+\frac{1}{n\! +\! 2}+\cdots +\frac{1}{2n} > \frac{13}{24}\; \; (n=2,3,...)$	^D0
$2^n<C_{2n}^{\, n}<2^{2n} \quad (n=2,3,\cdots )$	^D7
2ⁿ⁻¹. n! ≤ nⁿ (n=1,2,3,...)	^D9
$n!\; \leqslant \: \left ( \frac{n+1}{2} \right )^n \qquad \forall\: n\: \in \mathbb{N}$	^E3
$\frac{1}{1^3}\!+\!\frac{1}{2^3}\!+\!\frac{1}{3^3}\!+\!\cdots\!+\!\frac{1}{n^3} < \frac{3}{2}-\frac{1}{2n^2} \; \;\;(n\!=\!2,\!3,\!..)$	^E9
$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\: <\: \frac{5n-2}{2n}$	^F6
5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ (n = 2,3,...)	^F9
5ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹ > 2²ⁿ⁺¹	^G1
$\frac{1}{n\!+\!1}+\frac{1}{n\!+\!2}+\cdots+\frac{1}{2n}\: >\: \frac{9}{19} \; \; (n=1,2,3,...)$	^G8
$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(n+2)^2}\; <\; \frac{n}{2(n+3)}$	^I1
$\left \|\, \sum_{i=1}^{n} \, x_i\, \right \|\: \leqslant \: \sum_{i=1}^{n}\left\|\, x_i\, \right\| \qquad (n=2,3,...)$	^I9

V o l l e d i g e i n d u c t i e
Mathematical induction (Engels)
Vollständige Induktion (Duits)
Induction Mathématique (Frans)
Indução matemática (Portugees)
Induzione matematica (Italiaans)
Inducción completa (Spaans)

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