Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$1,5 \: <\: \frac{F_{n+1}}{F_{n}}\: <\: 2 \quad voor \; n = 4, 5, ...$
	waarbij F_n de n-de term is in de rij van FIBONACCI : 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... met F_n+2 = F_n+1 + F_n
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 4 is F₅ = 5 en F₄ = 3 met als verhouding 1,666... → inderdaad gelegen tussen 1,5 en 2

Deel II	Gegeven :	$1,5 \: <\: \frac{F_{k+1}}{F_{k}}\: <\: 2 \quad voor \; k = 4, 5, ...$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$1,5 \: <\: \frac{F_{k+2}}{F_{k+1}}\: <\: 2$
	Bewijs :	Daar F_k+2 = F_k+1 + F_k volgt uit de I.H.
		__ $\frac{3}{2}\: < \: \frac{F_{k+1}}{F_{k+2}-F_{k+1}}\: < \: 2$ ^{en daar a < b ⇔ < voor positieve getallen}
		$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\: < \: \frac{F_{k+2}-F_{k+1}}{F_{k+1}}\: < \: \frac{2}{3}$
		$\Leftrightarrow \; \frac{1}{2}\: < \: \frac{F_{k+2}}{F_{k+1}}\: -1< \: \frac{2}{3}$ ^{tel nu 1 bij in elk van de drie leden}
		$\Leftrightarrow \; \frac{3}{2}\: < \: \frac{F_{k+2}}{F_{k+1}}\: < \: \frac{5}{3}$ _{en dus ook}
		$\Leftrightarrow \; 1,5\: < \: \frac{F_{k+2}}{F_{k+1}}\: < \: \frac{5}{3}\; < \; 2$
		__ Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 4 (Deel I), n = 5 (Deel II),
n = 6 (Deel II), n = 7 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

1) Als men de opgave verandert in $1,5\: \leqslant \: \frac{F_{k+1}}{F_{k}}\: \: \; \leqslant \; 2$ kan je n laten starten bij 2 i.p.v. 4
2) Je kan hetzelfde bewijs gebruiken om aan te tonen dat $1,5\: < \: \frac{F_{k+1}}{F_{k}}\: \: \; < \; 1,7$

3) In de limiet, m.a.w. als n nadert tot plusoneindig

komt de breuk dichter en dichter bij
het gulden getal (ook getal van de gulden snede genoemd) :
1,618... Het bewijs ervan is niet eens moeilijk

4) Nog merkwaardiger : als je de rij niet begint met 1 en 1, maar met twee andere
(grotere) natuurlijke getallen, dan nadert die breuk OOK naar 1,618...

Dit gulden getal is samen met pi en het getal van Euler, zowat de drie 'beroemdste' decimale getallen
die geen breuken zijn en ook geen wortel van een natuurlijk getal :
φ ≈ 1,618... e = 2,71828...

= 3,14159...