Bewijs door Volledige Inductie

Let op :
Een ongelijkheid bewijzen door volledige inductie is in de regel een stuk moeilijker dan een gelijkheid !

Te bewijzen :	$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}\; \leqslant \; 2 - \frac{1}{n}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\: \frac{1}{i^{\: 2}}\; \leqslant \; 2-\frac{1}{n}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}LL =\frac{1}{1^2}=1 \qquad (eerste\;term)$ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}RL=2-\frac 11 = 1$ LL ≤ RL → O.K.

Deel II	Gegeven :	$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{k^2}\; \leqslant \; 2 - \frac{1}{k}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2}\; \leqslant \; 2 - \frac{1}{k+1}$
	Bewijs :	$LL= \left (1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{k^2} \right ) + \frac{1}{(k+1)^2}\;$
		__ $\leqslant \; 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}\;$
		__ $= \; 2 - \frac{(k+1)^2-k}{k.(k+1)^2}$
		__ $= \; 2 - \frac{k^2+k+1}{k.(k+1)^2}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\; 2 - \frac{k(k+1)+1}{k\, (k+1)^2}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\; 2 - \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k\, (k+1)^2}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\leq \; 2 - \frac{1}{k+1} \quad = RL \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

Je kan in de ongelijkheid ≤ vervangen door < als je van n = 2 vertrekt :
dan is LL = 1,25 en RL= 2 − -1/2

= 1,5