Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{(2n)\, !}{(n!)^2}\: > \: \frac{4^n}{n+1} \mathrm{\quad (n=3,4,...)}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 3 is $LL=\frac{6!}{(3!)^2}=\frac{6.5.4}{3!}=20$ $RL=\frac{4^3}{4} = 4^2 = 16$ LL > RL → O.K.

Deel II	Gegeven :	$\frac{(2k)\, !}{(k!)^2}\: > \: \frac{4^k}{k+1}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{(2k+2)\, !}{[(k+1)!]^2]}\: > \: \frac{4^{k+1}}{k+2}$
	Bewijs :	$LL=\frac{(2k+2).(2k+1) {\color{Purple} \mathbf{(2k)!}} }{(k+1)^2. {\color{Purple} \mathbf{(k!)^2}}}$
		__ $=\frac{(2k+2).(2k+1)}{(k+1)^2}\cdot {\color{Purple} \mathbf{\frac{4^k}{k+1}}}$
		__ $=\frac{(2k+1).2.4^k}{(k+1)^2}$
		__ $=\frac{(2k+1)\cdot 4^{k+1}}{2.(k+1)^2}$
		__ $=\frac{(2k+1)(k+2)}{2.(k^2+2k+1)} .\frac{4^{k+1}}{k+2}$
		__ $=\frac{2k^2{\color{DarkBlue} \boldsymbol{\mathbf{+5k}}}+2}{2k^2{\color{DarkBlue} \boldsymbol{\mathbf{+4k}}}+2} \cdot \frac{4^{k+1}}{k+2}$
		__ $> \: \frac{4^{k+1}}{k+2} = RL \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 3 (Deel I), n = 4 (Deel II),
n = 5 (Deel II), n = 6 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n
Opmerking : voor n = 1 en n = 2 moet je het ongelijkheidsteken omdraaien,
voor n = 0 verkrijg je een gelijkheid

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP