Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	0² + 1² + 2² + ... + (n − 1)² > n² (n − 4)
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\: (n-1)^2 \; > \; \frac{n^2\cdot (n-4)}{4}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste zinvolle n-waarde, nl. 1 is LL = 0² = 0 (de eerste term) RL = − LL > RL O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	0² + 1² + 2² + ... + (k − 1)² > k² (k − 4) ( I.H.)
	Te bewijzen:	0² + 1² + 2² + ... + (k − 1)² + k² > (k+1)².(k − 3)
	Bewijs :	Uit de inductiehypothese volgt direct, door k² bij te tellen in beide leden :
		0² + 1² + 2² + ... + (k − 1)² + k² > k² (k − 4) + k²
		0² + 1² + 2² + ... + (k − 1)² + k² > (k³ − 4k² + 4k²)
		0² + 1² + 2² + ... + (k − 1)² + k² > k³
		^{Nog aan te tonen :} k³ > (k+1)².(k − 3) ⇔ k³ > (k² + 2k + 1).(k − 3) ⇔ k³ > k³ − 3k² + 2k² − 6k + k − 3 ⇔ 0 > − k² − 5k − 3 ^{evident voor elk natuurlijk getal k}

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP