Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$x_1=\sqrt{2},\; x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\cdots ,x_n=\sqrt{2+{x_{n-1}}}\; <\: 2$
m.a.w.	$alle\;getallen\; \; x_1=\sqrt{2},\; x_n=\sqrt{2+{x_{n-1}}}\;\; zijn\;\,kleiner\; dan\; 2$
Bewijs :
Deel I	Kan moeilijk gemakkelijker : x₁ = √2 < 2 → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	x_k < 2
	Te bewijzen:	x_k+1 < 2
	Bewijs :	$x_{k+1}=\sqrt{2+{x_k}}$
		⇒ (x_k+1)² = 2 + x_k < 4 (wegens de I.H.)
		⇒ x_n+1 < 2 Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP