Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2n-1}{2n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
m.a.w.	$\prod_{i=1}^{n}\: \frac{2i-1}{2\, i}\leqslant \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $LL=\frac{1}{2} \; _{(eerste\; factor)} \quad en \quad RL = \frac{1}{\sqrt{3.1+1}}=\frac{1}{2} \quad en \quad LL \leqslant RL \quad O.K.$

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2k-1}{2k} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3k+1}}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3k+4}}$
	Bewijs :	Uit de inductiehypotese (gegeven) volgt onmiddellijk: $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2k+2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3k+1}}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}$
		$m.a.w. \quad LL \leqslant \frac{1}{\sqrt{3k+1}}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}$ We moeten dus nu nog alleen aantonen dat
		$\frac{1}{\sqrt{3k+1}}\cdot \frac{2k+1}{2k+2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3k+4}}$ ^(*)
		Vermits alle tellers en noemers positieve getallen zijn mogen we beide leden kwadrateren en herschikken tot
		⇔ (2k + 1)²(3k + 4) ≤ (2k+2)²(3k + 1)
		⇔ (4k² + 4k + 1).(3k + 4) ≤ (4k² + 8k + 4).(3k + 1)
		⇔ 12k³ + 16k² + 12k² + 16k + 3k + 4 ≤ 12k³ + 4k² + 24k² + 8k + 12k + 4
		⇔ 19k ≤ 20k Yes !
		Deze uitspraak is waar voor alle positieve gehele k-waarden. De ongelijkheid (*) is dus bewezen.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

De laatste ongelijkheid doet een beetje vermoeden dat er weinig verschil is tussen het eerste en het tweede lid van de formule.
Inderdaad reken we met een rekenmachine het product van de eerste drie factoren uit verkrijgen we 0,3125
terwijl het rechterlid (omgekeerde van de vierkantswortel van 13) 0,3162 oplevert.