Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$n!\; \leqslant \: \left ( \frac{n+1}{2} \right )^n \qquad \forall\: n\: \in \mathbb{N}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, 0 of 1 Kies je n=0 dan is LL = 0! = 1 en RL = ()⁰ = 1 Kies je n=1 dan is LL = 1! = 1 en RL = 1¹ = 1 In beide gevallen is LL = RL, dus ook LL ≤ RL → O.K.

Deel II	Gegeven :	$k!\; \leqslant \: \left ( \frac{k+1}{2} \right )^k$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$(k+1)\, !\; \leqslant \: \left ( \frac{k+2}{2} \right )^{k+1}$
	Bewijs :	LL = (k + 1)! = (k + 1).k!
		__ $\leqslant (k+1). \left ( \frac{k+1}{2} \right )^k$
		__ $= 2\left (\frac{k+1}{2} \right )\cdot \left ( \frac{k+1}{2} \right )^k$
		__ $= 2\left ( \frac{k+1}{2} \right )^{k+1}$
		__ $= 2 \cdot \frac{(k+1)^{k+1}}{2^{k+1}}\cdot \frac{2^{k+1}}{(k+2)^{k+1}} \cdot \frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}}$
		__ $= 2 \cdot \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+2)^{k+1}}\cdot \frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}}$
		__ $= 2 \cdot \left ( \frac{k+1}{k+2} \right )^{k+1} \cdot \left ( \frac{k+2}{2} \right )^{k+1}$
		__ $= \frac{2}{\left ( \frac{k+2}{k+1} \right )^{k+1}} \cdot \left ( \frac{k+2}{2} \right )^{k+2}$
		__ $= \frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{k+1} \right )^{k+1}} \cdot \left ( \frac{k+2}{2} \right )^{k+2} \qquad (*)$
		Voor k = 0 is de factor (breuk met teller 2) gelijk aan 1. Voor k = 1 is de factor (breuk met teller 2) gelijk aan < 1. Voor k-waarden groter dan 1 is die factor ook kleiner dan 1 ! Immers de functie f (x) = (1 + ) is een stijgende functie met het getal e (≈ 2,7 en dus > 2) in de limiet voor x → De breuk met teller 2 heeft dus een noemer die ≥ 2. Die breuk is dus kleiner of gelijk aan 1 en mag "weggelaten" worden zodat we kunnen besluiten : $(*) < \left ( \frac{k+2}{2} \right ) ^ {k+1} \; =\; RL \qquad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP