Bewijs door Volledige Inductie

^{Let op : bewijzen van ongelijkheden is altijd een stuk moeilijker dan bewijzen van gelijkheden !}

Te bewijzen :	$n^3 \leqslant 3^n \quad \forall\, n \in \mathbb{N}$
Bewijs :
Deel I	Om het bewijs in Deel II wat eenvoudiger te maken onderzoeken we de stelling eerst voor de *vier* kleinste natuurlijke getallen : n = 0 0³ ≤ 3⁰ ⇔ 0 ≤ 1 n = 1 1³ ≤ 3¹ ⇔ 1 ≤ 3 n = 2 2³ ≤ 3² ⇔ 8 ≤ 9 n = 3 3³ ≤ 3³ ⇔ 27 ≤ 27

Deel II	Gegeven :	$k^3 \leqslant 3^k \quad (k=3,4,5,...)$ ( I.H.)
	Te bewijzen:	$(k+1)^3 \leqslant 3^{k+1}$
	Bewijs :	$k^3 \leqslant 3^k$
		⇒ $3\cdot k^3 \leqslant 3\cdot 3^k$
		⇒ $k^3 + k^3 + k^3 \leqslant 3^{k+1}$ We gaan nu het eerste lid (nog) kleiner maken door enerzijds k³ te vervangen door 3k² (Dit mag want 3 ≤ k zodat ook 3.k² ≤ k.k² en dus ook 3.k² ≤ k³) en anderzijds nog een k³ te vervangen door 3k+1 (dit mag want 3k+1 < k³ ⇔ 1 < k³−3k ⇔ 1 <k(k²−3) correct vanaf k=2)
		⇒ $k^3 + 3k^2 + 3k +1\leqslant 3^{k+1}$
		⇒ $(k+1)^3 \leqslant 3^{k+1}$ Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 0 (Deel I), n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel I),
n = 3 (Deel I), n = 4 (Deel II), n = 5 (Deel II), ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP