Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$n\mathbf{!}\; > \; \left ( \, \frac{n}{e} \, \right )^n \qquad voor\; n=1,2,...$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = 1! = 1 (de eerste term) $RL=\left ( \frac{1}{e} \right )^1=\frac{1}{e}\; < \; 1$ ^{want e ≈ 2,71828...}

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$k\mathbf{!}\; > \; \left ( \, \frac{k}{e} \, \right )^k$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$(k+1)\, \mathbf{!}\; > \; \left ( \, \frac{k+1}{e} \, \right )^{k+k }$
	Bewijs :	$LL = (k+1)\, !=(k+1).k!\; >\; (k+1)\left ( \frac{k}{e} \right )^k$
		__ $= (k+1)\,\cdot \frac{k^k}{e^k}\cdot \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)^{k+1}}$
		__ $= \left ( \frac{k+1}{e} \right )^{k+1}\cdot \frac{k^k}{(k+1)^{\, k}}\cdot e$
		__ $= \left ( \frac{k+1}{e} \right )^{k+1}\cdot \left (\frac{k}{k+1} \right )^k\cdot e$
		__ $= \left ( \frac{k+1}{e} \right )^{k+1}\cdot \frac{1}{\left ( \frac{k+1}{k} \right )^k }\cdot e$
		__ $= \left ( \frac{k+1}{e} \right )^{k+1}\cdot \frac{e}{\left ( 1+\frac{1}{k} \right )^k }$
		__ $> \left ( \frac{k+1}{e} \right )^{k+1} \qquad Q.E.D.$
		__ ^{want de functie} $f\, (x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x$ ^{is een stijgende functie met in de limiet (voor x → ) het getal e} ^{De breuk} $\frac{e}{\left ( 1+\frac{1}{k} \right )^k}$ ^{is dus groter dan 1 en bij het weglaten ervan verklein je de uitdrukking}

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP