^{Let op : bewijzen van ongelijkheden is altijd een stuk moeilijker dan bewijzen van gelijkheden !}

Te bewijzen :	n3 >(n + 5)2   vanaf n = ?
Bewijs :
Deel I	We onderzoeken eerst welke de kleinste n-waarde is waarvoor de stelling geldt n = 0   →   0 > 25   →   nee n = 1   →   1 > 36   →   nee n = 2   →   8 > 49   →   nee n = 3   →   27 > 64   →   nee n = 4   →   64 > 81   →   nee n = 5   →   128 > 100   →   ja ! n = 6   →   216 > 121   →   ja

Nu gaan we bewijzen dat  S( k ) ⇒  S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor  n = k + 1

Deel II	Gegeven :	k3 >(k + 5)2   (k = 5, 6, ...)     ( I.H.)
	Te bewijzen:	(k + 1)3 >(k + 6)2
	Bewijs :	k3 >k2 + 10k + 25
		⇒  k3 + 3k2 + 3k + 1 >k2 + 10k + 25 + 3k2 + 3k + 1
		⇒  (k + 1)3 >4k2 + 13k + 26
		⇒  (k + 1)3 >k2 + 12k + 36 + 3k2 + k − 10
		⇒  (k + 1)3 >(k + 6)2 + (k + 2)(3k − 5) We gaan het rechterlid kleiner maken door (k+2)(3k− 5) weg te laten, een positief getal vanaf k=2 )
		⇒  (k + 1)3 >(k + 6)2   Q.E.D.

---

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 5 (Deel I), n = 6 (Deel I),
n = 7 (Deel II), n = 8 ...   m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

---

I.H. = Inductiehypothese     Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel  I  = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

---