Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2n-1}{2n}\: \leqslant \: \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
m.a.w.	$\prod_{i=1}^{n}\: \frac{2\, i-1}{2\, i} \: \leqslant \: \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $LL = \frac{1}{2} \quad (eerste \; \: factor)$ $RL = \frac{1}{\sqrt{3.1+1}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$ LL ≤ RL → O.K.

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2k-1}{2k}\: \leqslant \: \frac{1}{\sqrt{3k+1}}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}\: \leqslant \: \frac{1}{\sqrt{3k+4}}$
	Bewijs :	$LL = \left (\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2k-1}{2k} \right ). \frac{2k+1}{2k+2} \: \leqslant \: \frac{1}{\sqrt{3k+1}}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}$ We moeten dus de volgende ongelijkheid aantonen : (alle tellers en noemers zijn poisitief)
		__ $\frac{1}{\sqrt{3k+1}}\cdot \frac{2k+1}{2k+2}\: \leqslant \: \frac{1}{\sqrt{3k+4}}$
		__ $\Leftrightarrow \: \frac{1}{3k+1}\cdot \frac{(2k+1)^2}{(2k+2)^2}\: \leqslant \: \frac{1}{3k+4}$
		__ ⇔ (2k + 1)².(3k + 4) ≤ (3k + 1).(2k + 2)²
		__ ⇔ (4k²+4k+1)(3k+4) ≤ (3k+1)(4k²+8k+4)
		__ ⇔ 12k³+16k²+12k²+16k+3k+4 ≤ 12k³+4k²+24k²+8k+12k+4
		__ ⇔ 28k² + 19k + 4 ≤ 28k² + 20k + 4
		__ ⇔ 19 k ≤ 20k Yes! Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP