Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} > \frac{13}{24} \quad (n=2,3,...)$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\: \frac{1}{n+i} \: > \: \frac{13}{24} \quad (n=2,3,...)$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 2 is $LL = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=\frac{14}{24}>\frac{13}{24} \: \rightarrow O.K.$

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots +\frac{1}{2k} > \frac{13}{24}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots +\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}> \frac{13}{24}$
	Bewijs :	$LL = \left ({\color{DarkBlue}\mathbf{\frac{1}{k+1}} } + \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots +\frac{1}{2k} \right )+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}{\color{DarkBlue}-\mathbf{\frac{1}{k+1} }}$
		__ $> \frac{13}{24} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1}$
		__ $= \frac{13}{24} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2(k+1)} - \frac{1}{k+1}$
		__ $= \frac{13}{24} + \frac{2k\! +\! 2+2k\! +\! 1 - 4k\!-\!2}{2(k+1)(2k+1)}$
		__ $= \frac{13}{24} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}\; >\frac{13}{24}\; = RL \quad Q.E.D.$ ^{want deze breuk ↑ is "ietsje" positief}

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 2 (Deel I), n = 3 (Deel II),
n = 4 (Deel II), n = 5 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP