Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\left ( \frac{n}{3} \right )^n\, <\: n! \qquad (n=1,2,...)$
Bewijs :
Deel I	Voor n = 1 verkrijgen we $\newline LL=\left ( \frac{1}{3} \right )^1=\frac{1}{3} \newline RL=1!=1$ LL < RL → O.K.

Deel II	Gegeven :	$\left ( \frac{k}{3} \right )^k\, <\: k!$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\left ( \frac{k+1}{3} \right )^{k+1}\, <\; (k+1)!$
	Bewijs :	Uit de inductiehypothe volgt onmiddellijk $(k+1)\left ( \frac{k}{3} \right )^k\, <\: (k+1).k!$
		__ $\Rightarrow \: (k+1)\, \frac{k^k}{3^k} \, <\: (k+1)!$
		__ $\Rightarrow \: \left ( \frac{k+1}{3} \right )^{k+1}\frac{3^{k+1}}{(k+1)^{k+1}} \; . \; (k+1)\, \frac{k^k}{3^k} \, <\: (k+1)!$
		__ $\Rightarrow \: \left ( \frac{k+1}{3} \right )^{k+1}\frac{3.k^k}{(k+1)^{k}} \; \, <\: (k+1)!$
		__ $\Rightarrow \: \left ( \frac{k+1}{3} \right )^{k+1} \frac{3}{\left ( \frac{k+1}{k} \right )^k} \; \, <\: (k+1)!$
		__ $\Rightarrow \: \left ( \frac{k+1}{3} \right )^{k+1}\cdot \frac{3}{\left (1+\frac{1}{k} \right )^k} \; \, <\: (k+1)!$
		^Daar $\newline f(k)=\left ( 1+\frac{1}{k} \right )^k$ ^{een bekende stijgende functie is waarbij f (1) = 2 met als limiet het getal e (≈2,718..) voor k → , is} $\frac{3}{\left ( 1+\frac{1}{k} \right )^k}$ ^{een getal groter dan 1 en mag dus weggelaten worden waardoor het linkerlid kleiner wordt en we de formule verkrijgen die we moesten bewijzen.}

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat de monstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP