Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3\; \mathbf{>} \; \frac{n^4}{4}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\; i{\, ^3}\;\; \mathbf{>} \;\; \frac{n^4}{4}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $LL=1^3=1\quad _{(eerste\; term)}$ $RL=\frac{1^4}{4}=\frac{1}{4}$ LL > RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$1^3+2^3+3^3+ \cdots + k^3\; > \; \frac{k^4}{4}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$1^3+2^3+3^3+\cdots +k^3+(k+1)^3\;\: \mathbf{>} \; \frac{(k+1)^4}{4}$
	Bewijs :	$LL=\left ( 1^3+2^3+3^3+\cdots +k^3 \right )+(k+1)^3$
		__ $> \frac{k^4}{4} +\: k^3+3k^2+3k+1$
		__ $= \frac{k^4+4k^3+12k^2+12k+4}{4}$
		__ $= \frac{k^4+4k^3+6k^2+4k+1}{4} \: +\: \frac{6k^2+8k+3}{4}$
		__ $= \frac{(k+1)^4}{4} \: +\: \frac{6k^2+8k+3}{4}$
		__ $> \frac{(k+1)^4}{4} \: =\; RL \qquad Q.E.D.$ $\left ( \frac{6k^2+8k+3}{4} \, > \, 0 \quad \; \forall\: k \, \in\, \mathbb{N}\, \right )$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP