Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\; < \; 2.\sqrt{n}$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}}\; < \; 2.\sqrt{n}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is $\newline LL = \frac{1}{\sqrt{1}}\; = 1 \quad (eerste \; \; term) \newline RL = 2.\sqrt{1}=2$ LL < RL O.K.

Deel II	Gegeven :	$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}\; < \; 2.\sqrt{k}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\; < \; 2.\sqrt{k+1}$
	Bewijs :	$LL < 2.\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ ^{(als gevolg van de I.H.)}
		$<\frac{2.\sqrt{k}.\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}}$
		$<\frac{\sqrt{4k^2+4k}}{\sqrt{k+1}}$ ^{nu in het rechterlid de teller en dus de breuk iets groter maken}
		$<\frac{\sqrt{4k^2+4k+1}}{\sqrt{k+1}}$
		$< \frac{\sqrt{(2k+1)^2}}{\sqrt{k+1}}$
		$< \frac{2k+1+1}{\sqrt{k+1}}$
		$< \frac{2(k+1)}{\sqrt{k+1}}$
		$< 2.\sqrt{k+1}$ Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP