Op een lijnstuk met lengte 120 tekenen we een halve cirkel en een aangrenzend vierkant zoals in de figuur.
Noem A het hoogste punt van de cirkel en B het midden van de bovenste zijde van het vierkant.
Voor welke straal van de cirkel is |AB| minimaal ?
A. 25
B. 30
C. 40
D. 10π + 15
E. 15π + 5
[ vwo34-(1s28) - op net sinds 19.1.2019-(E)-4.8.2024 ]
Deze (28ste) vraag werd gesteld op 16 januari 2019 tijdens de eerste ronde van de 34ste Wiskunde Olypiade (5de en 6de jaars)
Ongeveer evenveel leerlingen hebben de vraag juist, fout of niet beantwoord
We gaan het analytisch oplossen : plaats het xy-assenstelsel op de 'meest normale wijze'
zodat de hele figuur zich in het eerste kwadrant bevindt.
Noem x de straal van de halve cirkel. Het punt A heeft dan coördinaat (x,x).
De diameter van de cirkel is dan 2x en de zijde van het vierkant 120 − 2x.
Vandaar dat de coördinaat van B is : (2x + 60 − x, 120 − 2x) = (x + 60, 120 − 2x).
De afstand d van A tot B zal minimaal zijn als ook d² minimaal is :
d² = (x + 60 − x)² + (120 − 2x − x)² = 60² + (120 − 3x)²
d² is minimaal als (12 − 3x)² minimaal is, dus als x = 40. Merk op : we hebben noch afgeleiden, noch de top van een parabool nodig gehad
