|
De parabool met vergelijking y = −x2 + 2x + 3 snijdt de x-as in de punten A en B, en de y-as in C. De rechte door C evenwijdig met de x-as snijdt de parabool ook in het punt D. Wat is de oppervlakte van de vierhoek ABCD ? | A. 4,5 |
|---|---|
| B. 8 | |
| C. 9 | |
| D. 12 | |
| E. 18 |
Deze vraag (nr.17) werd gesteld in januari 2017
tijdens de eerste ronde van de 32ste Wiskunde Olympiade (5de en 6de jaars)
42% gaf een juist antwoord, 31% een fout en 27% geen antwoord.
|
IN CONSTRUCTION |
A. |
| B. | |
| C. | |
| D. | |
| E. |
De nulwaarden zijn oplossing van de vierkantsvergelijking
−x² + 2x + 3 = 0 ⇔ (x + 1)(−x + 3) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
wat (−1,0) en (3,0) oplevert als snijpunten met de x-as en dus 4 als lengte van de grote basis van het trapezium ABCD.
Het snijpunt met de y-as is wegens f(0) = 3 het punt (0,3), zodat 3 de hoogte is van het trapezium ABCD. Het snijpunt D vinden we door oplossen van de vierkantsvergelijking −x² + 2x + 3 = 3 ⇔ −x² + 2x = 0 ⇔ x(−x + 2) = 0
⇔ x = 0 ∨ x = 2 wat D(2,3) oplevert en 2 als lengte van de kleine basis van het trapezium. De oppervlakte van het trapezium is dus gelijk aan
½ hoogte × (kleine basis + grote basis) = ½ × 3 × (2 + 4) = 9
Het snijpunt met de y-as is wegens f(0) = 3 het punt (0,3), zodat 3 de hoogte is van het trapezium ABCD. Het snijpunt D vinden we door oplossen van de vierkantsvergelijking −x² + 2x + 3 = 3 ⇔ −x² + 2x = 0 ⇔ x(−x + 2) = 0
⇔ x = 0 ∨ x = 2 wat D(2,3) oplevert en 2 als lengte van de kleine basis van het trapezium. De oppervlakte van het trapezium is dus gelijk aan
½ hoogte × (kleine basis + grote basis) = ½ × 3 × (2 + 4) = 9
