De parabool met vergelijking
y = −x2 + 2x + 3 snijdt de x-as in de punten A en B, en de y-as in C.
De rechte door C evenwijdig met de x-as snijdt de parabool ook in het punt D.
Wat is de oppervlakte van de vierhoek ABCD ?
|
A. 4,5 |
|---|
| B. 8 |
| C. 9 |
| D. 12 |
| E. 18 |
[ vwo32-(1s17) - op net sinds 6.2.2023-(E) ]
Deze vraag (nr.17) werd gesteld in januari 2017
tijdens de eerste ronde van de 32ste Wiskunde Olympiade (5de en 6de jaars)
42% gaf een juist antwoord, 31% een fout en 27% geen antwoord.
Translation in E N G L I S H
IN CONSTRUCTION
|
A. |
|---|
| B. |
| C. |
| D. |
| E. |
Oplossing - Solution
De nulwaarden zijn oplossing van de vierkantsvergelijking
−x² + 2x + 3 = 0 ⇔ (x + 1)(−x + 3) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
wat (−1,0) en (3,0) oplevert als snijpunten met de x-as en dus 4 als lengte van de grote basis van het trapezium ABCD.
Het snijpunt met de y-as is wegens f(0) = 3 het punt (0,3), zodat 3 de hoogte is van het trapezium ABCD.
Het snijpunt D vinden we door oplossen van de vierkantsvergelijking
−x² + 2x + 3 = 3 ⇔ −x² + 2x = 0 ⇔ x(−x + 2) = 0
⇔ x = 0 ∨ x = 2
wat D(2,3) oplevert en 2 als lengte van de kleine basis van het trapezium.
De oppervlakte van het trapezium is dus gelijk aan
½ hoogte × (kleine basis + grote basis) = ½ × 3 × (2 + 4) = 9
