A B P M N gricha - vwo31-(1s24) - 5.7.2022
De middelpunten M, N en P van drie rakende cirkels met straal 1 zijn collineair. De raaklijn uit P aan de cirkel met middelpunt M snijdt de cirkel met middelpunt N in de punten A en B zoals op de figuur.
Wat is de lengte van het lijnstuk [AB] ? 		A.   \(\frac{\sqrt5}2\)
B.   \(\frac32\)
C.   \(\sqrt3\)
D.   \(\frac74\)
E.   \(2\sqrt2\)
    a    b    c    d    e

[vwo31-(1s24) - op net sinds 7.2.2016-()-25.11.2024 ]

Deze vraag (24ste), werd gesteld op 13 januari 2016 tijdens de eerste ronde van de 31ste Wiskunde Olympiade (5de en 6de jaars).
Er waren slechts 15% juiste antwoorden, 34% foute en 52% blanco antwoorden. De vraag staat in de top 3 van de moeilijste vragen van deze ronde.

Translation in   E N G L I S H

IN CONSTRUCTION
length [AB] = ?
Radius all circles is 1. 		A.   \(\frac{\sqrt5}2\)
B.   \(\frac32\)
C.   \(\sqrt3\)
D.   \(\frac74\)
E.   \(2\sqrt2\)

Oplossing - Solution

A B C P M N V
Teken de lijnstukken :
      [MC]   ( 'vanzelf' loodrecht op PC ),
      [NV]   ( middelloodlijn van [AB] )
      en ook [NB].
Noem 2x de lengte van gezochte lijnstuk [AB]   (x kan ook uiteraard). Dan is |VB| = x
Omdat ΔPVN gelijkvormig is met ΔPCM is (HHH), en het feit dat |MN|=|NP| ( = 2)   is   |VN| = ½|MC| = ½
In driehoek VNB kunnen we nu de stelling van Pythagoras toepassen : ( ½ )² + x² = 1²  ⇔  x² = 1 − ¼  ⇔  x² = ¾
Dus is   \(x=\frac{\sqrt3}{2}\)   zodat   |AB| = 2x = \(\sqrt3\)
GWB