Voor een willekeurige driehoek noemen we h1, h2, h3 de lengtes van de drie hoogtelijnen, p de halve omtrek en S de oppervlakte.
Dan is  \(\boldsymbol{\frac {1} {h_1}+\frac {1} {h_2} +\frac {1} {h_3} }\)  gelijk aan 		A.   \(\boldsymbol{\frac {p} {S} }\)
B.   \(\boldsymbol{\frac {2p} {S} }\)
C.   \(\boldsymbol{\frac {2} {p} }\)
D.   \(\boldsymbol{\frac {S} {p} }\)
E.   \(\boldsymbol{\frac {S} {p^3} }\)
    a    b    c    d    e

[ vwo26-(2j25) - op net sinds 16.12.2022-()- ]

Deze vraag (25ste), werd gesteld in januari 2011 tijdens de tweede ronde van de 10de Junior Wiskunde Olympiade (3de en 4de jaars).
17% juiste antwoorden - 22% foute antwoorden
Van de 30 vragen was dit de vraag met de meeste blanco's : 61%

Translation in   E N G L I S H

IN CONSTRUCTION
 A.  
B.  
C.  
D.  
E.  

Oplossing - Solution

De oppervlakte S van de driehoek kunnen we op drie manieren berekenen (met de formule uit de lagere school) : \(\boldsymbol{S = \frac {ah_1} {2} = \frac {ah_2} {2} =\frac {ah_3} {2} }\) waarbij a de lengte van de zijde is die loodrecht staat op de eerste hoogtelijn, b ... enz. Bijgevolg is 2.S = ah1 = b.h2 = c.h3 en dus ook \(\boldsymbol{\frac {1} {h_1} = \frac{a}{2S} \quad \frac {1} {h_2} = \frac{b}{2S} \quad \frac {1} {h_3} = \frac{c}{2S} }\)
\(\boldsymbol{\frac {1} {h_1}\!+\!\frac {1} {h_2}\!+\!\frac {1} {h_3}= \frac {a} {2S}\!+\!\frac {b} {2S}\!+\! \frac {c} {2S} = \frac {a+b+c} {2S} = \frac {a+b+c}{2} \cdot \frac{1}{S} = \frac{p}{S} }\)