1^ste manier :
We berekenen eerst   φ² :
\(\phi^2=\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right)^2=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\frac{3+\sqrt5}{2}\)
\(\phi^5-5\phi=\phi\left(\phi^4-5\right)-5=\phi.\left(\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^2-5\right)=\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right).\left(\frac{9+6\sqrt5+5}{4}-5\right)\\=\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right).\left(\frac{6\sqrt5-6}{4}\right)=6.\frac{\sqrt5+1}{2}.\frac{\sqrt5-1}{2}=6.\frac{5-1}{8}=3\) 2^de manier :
φ is het gulden getal (getal van de gulden snede) en is dus oplossing van de vierkantsvergelijking   x² − x − 1 = 0 !
Zodoende is   x² = x + 1   en dus ook   φ² = φ + 1 ! !
φ⁵ − 5φ = φ((φ²)² − 5) = φ((φ+1)² − 5) = φ(φ² + 2φ − 4) = φ(3φ − 3) = 3φ(φ − 1) = 3(φ² − φ = 3(φ + 1 − φ) = 3