De zijden van een gelijkzijdige driehoek ABC worden
verdeeld in 2 stukken met lengte 1 en lengte x (x > 1).
De verdeelpunten D, E, F zijn eveneens de hoekpunten van
een gelijkzijdige driehoek.
Hoe groot is x als de oppervlakte
van ΔABC het dubbel is van de oppervlakte van ΔDEF?
A. 3
B. π
C. 3,75
D. 2 +
E. 3 +
[ vwo22-(2s13) - op net sinds 12.11.2022-(E)-5.8.2024 ]
Deze (13de en moeilijke) vraag werd gesteld op 28 februari 2007, op de tweede ronde van de Wiskunde Olympiade (5de en 6de leerjaar)
Niet minder dan 65% van de deelnemers lieten de vraag open.
Ongeveer evenveel juiste als foute antwoorden (18%)
Noem de zijde van ΔABC y. Dan is wegens de cosinusregel :
y² = 1 + x² − 2x.cos 60° = x² − x + 1.
De oppervlakteverhouding is dan
\(\boldsymbol{(\frac {1+x} {y})^2=\frac{1\,+\,2x\,+\,x^2}{x^2\,-\,x\,+\,1} }\)
welke 2 moet zijn.
Vandaar dat dus 1 + 2x + x² = 2x² − 2x + 2 ⇔ 0 = x² − 4x + 1
Deze vierkantsvergelijking heeft discriminant D = 12 en oplossingen
\(\small\frac12(4\pm \sqrt{12})=2\pm\sqrt3\).
Het antwoord is dus \(\small 2+\sqrt3\) (ongeveer 3,7)
