Wiskunde Multiple Choice Vraag

Hoeveel gehele oplossingen bezit de volgende irrationale vergelijking $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}=4$	A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
E. oneindig veel

Deze (16^de) vraag werd gesteld op 17 januari 2007 tijdens de eerste ronde van de 22^de Wiskunde Olypiade (5^de en 6^de jaar)
Slechts 3,2% van de deelnemers gaven een juist antwoord ! Dit is het laagste percentage ooit op een juist antwoord !
De vier andere alternatieven scoorden zelfs hoger ! Een derde liet de vraag blank.

How many integer solutions has $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}=4$ _{(very difficult question)}	A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
E. infinitely many

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{x-4}$ bestaat als $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}x \geqslant 4$ In dat geval bestaan ook $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}$ en $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}$
Voor de eerste wortel is dat evident.
Voor de tweede wortel niet, daarom onderzoeken we of $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\geqslant 0$
Dit zal het geval zijn als
$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}x-4\sqrt{x-4}\geqslant 0 \;\Leftrightarrow\; x\geqslant 4\sqrt{x-4}$
Daar beiden leden positief zijn (rek. houdend met x ≥ 4) mogen we dus zonder meer kwadrateren :
x² ≥ 16(x − 4) ⇒ x² − 16x + 64 ≥ 0 ⇒ (x − 8)² ≥ 0 → O.K.
We moeten dus enkel oplossingen zoeken in het interval [ 4,

[
We zijn nu zeker dat het linkerlid van de opgave positief is zodat we de gegeven vergelijking zonder meer mogen kwadrateren :
$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}=4\\x+4\sqrt{x-4}+2.\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}.\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+x-4\sqrt{x-4}=16\\2x+2\sqrt{x^2-16(x-4)}=16\\ x+\sqrt{x^2-16(x-4)}=8\\x+\sqrt{x^2-16x+64}=8\\x+\sqrt{(x-8)^2}=8\\x+|x-8|=8\\|x-8|=8-x\\x-8 \leqslant 0\\x\leqslant 8$
Rekening houdend met x ≥ 4 zijn de gehele oplossingen dus
4, 5, 6, 7 en 8 (5 stuks)