\(\sqrt{x-4}\)   bestaat als   \(x \ge 4\)
In dat geval bestaan ook \(\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}\)  en   \(\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\).
Voor de eerste wortel is dat evident.
Voor de tweede wortel niet, daarom onderzoeken we of \(\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\ge 0\)
Dit zal het geval zijn als
\(x-4\sqrt{x-4}\ge 0 \;\Leftrightarrow\; x\ge 4\sqrt{x-4}\)
Daar beiden leden positief zijn (rek. houdend met x ≥ 4) mogen we dus zonder meer kwadrateren :
x² ≥ 16(x − 4) ⇒ x² − 16x + 64 ≥ 0 ⇒ (x − 8)² ≥ 0 → O.K.
We moeten dus enkel oplossingen zoeken in het interval \([4,+\infty[\)
We zijn nu zeker dat het linkerlid van de opgave positief is zodat we de gegeven vergelijking zonder meer mogen kwadrateren :
\(\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}=4\\x+4\sqrt{x-4}+2.\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}.\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+x-4\sqrt{x-4}=16\\2x+2\sqrt{x^2-16(x-4)}=16\\ x+\sqrt{x^2-16(x-4)}=8\\x+\sqrt{x^2-16x+64}=8\\x+\sqrt{(x-8)^2}=8\\x+|x-8|=8\\|x-8|=8-x\\x-8 \leq 0\\x\leq 8\)
Rekening houdend met  x ≥ 4  zijn de gehele oplossingen dus
4, 5, 6, 7 en 8   (5 stuks)