De grootste waarde van sin x is 1.
De grootste waarde van cos x is 1.
Wat is de grootste waarde van
sin² x + sin² x . cos² x + cos² x ?
A.   1
B.   2
C.   3
D.   5op4
E.   3/2
    a    b    c    d    e

[ vwo21-(2s15) - op net sinds 18.12.2022-(E)-5.8.2024 ]

Deze vraag (nr.15) werd gesteld op 8 maart 2006 tijdens de tweede ronde van de 21ste Wiskunde Olympiade (5de en 6de jaars).
52% gaf hierop een juist antwoord, 41% een fout en 7% een blanco antwoord

Translation in   E N G L I S H

What is het largest value of
sin²x + sin²x.cos²x + cos²x ? 		A.   1
B.   2
C.   3
D.   5op4
E.   3/2

Oplossing - Solution

1ste manier :
Als twee positieve getallen a en b som 1 hebben (a+b=1), dan is hun product het grootst als ze gelijk zijn : immers hun product is y = a.b = a.(1-a) → een kwadratische functie ==> y is het grootste als a = (0+1)/2 = (=gemiddelde van de nulwaarden). Zo ook :  sin�x . cos� x  is het grootst als  sin�x = cos�x d.i. als sinx=cosx of sinx=-cosx, m.a.w. x moet een veelvoud zijn van 45°.
In dat geval zijn sin²x = cos²x = 1/2 zodat sin²x . cos² x = 1/4.
Daar verder sin�x + cos� x = 1 is het antwoord dus 1 + = 1,25.
2de manier : (met de formule sin 2x = 2.sin x.cos x)
sin²x + sin²x.cos²x + cos²x
= 1 + 1/4.4. sin²x.cos²x
= 1 + 1/4.(2.sin x.cos x)²
= 1 + 1/4.(sin 2x)²
Maximale waarde : 1 + 1/4.1 = 1 + 0,25 = 1,25
GWB