| Welke van deze vijf vergelijkingen heeft een rationaal getal als oplossing ? | A. 2x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 |
|---|---|
| B. 3x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 | |
| C. 4x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 | |
| D. 5x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 | |
| E. 6x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 |
[ vwo21-(1s24) - op net sinds 27.12.2022-(E)- ]
Deze vraag (nr.24) werd gesteld op 18 januari 2006 tijdens
de eerste ronde van de
21ste Wiskunde Olympiade (5de en 6de jaars).
Het bleek een moeilijke vraag te zijn van deze ronde.
Het was de vraag met het minst aantal juiste antwoorden : 9,5%
Het was de vraag met het meest aantal blanco antwoorden : 66%
| Which of these five equations has a solution that a rational number is ? | A. 2x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 |
|---|---|
| B. 3x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 | |
| C. 4x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 | |
| D. 5x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 | |
| E. 6x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 |
Oplossing - Solution
ax³ + 3x² + 3x + 1 = 0
⇔ (a − 1)x³ + x³ + 3x² + 3x + 1 = 0
⇔ (a − 1)x³ + (x + 1)³ = 0
⇔ (x + 1)³ = (1 − a)x³
⇔ \(\small \boldsymbol{(x+1)^3= \left ( \sqrt[3]{1-a}\: .\: x \right )^3 }\)
⇔ \(\small \boldsymbol{ x+1= \sqrt[3]{1-a}.x }\)
⇔ \(\small \boldsymbol{ 1=\left ( \sqrt[3]{1-a}\ -1 \right ).\, x }\)
⇔ \(\small \boldsymbol{ x = \frac{1}{ \sqrt[3]{1-a}\; -1 } }\)
als a = 2 is x rationaal en is dan gelijk aan
⇔ (a − 1)x³ + x³ + 3x² + 3x + 1 = 0
⇔ (a − 1)x³ + (x + 1)³ = 0
⇔ (x + 1)³ = (1 − a)x³
⇔ \(\small \boldsymbol{(x+1)^3= \left ( \sqrt[3]{1-a}\: .\: x \right )^3 }\)
⇔ \(\small \boldsymbol{ x+1= \sqrt[3]{1-a}.x }\)
⇔ \(\small \boldsymbol{ 1=\left ( \sqrt[3]{1-a}\ -1 \right ).\, x }\)
⇔ \(\small \boldsymbol{ x = \frac{1}{ \sqrt[3]{1-a}\; -1 } }\)
als a = 2 is x rationaal en is dan gelijk aan