Wiskunde Multiple Choice Vraag

$\displaystyle\lim_{x\to0}\;\frac{\sin^6\,2x-x^6}{x^6}=$	A. 1
B. 2
C. 12
D. 63
E. 64

$\inline\displaystyle\lim_{x\to0}\;\frac{\sin^62x-x^6}{x^6}=\lim_{x\to0}\;\frac{\sin^32x-x^3}{x^3}\cdot\lim_{x\to0}\;\frac{\sin^32x+x^3}{x^3}\\=\lim_{x\to0}\;\left[\frac{(\sin 2x-x)(\sin^22x+x.\sin2x+x^2)}{x\cdot x^2}\right]\cdot\lim_{x\to0}\;\left[\frac{\sin^32x}{x^3}+\frac{x^3}{x^3}\right]\\=\lim_{x\to0}\;\frac{\sin2x-x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\;\frac{\sin^22x+x.\sin2x+x^2}{x^2}\cdot(2^3+1)\\=(2-1)(2^2+2+1)(2^3+1)=1.7.9=63$

$\inline\text{We houden rekening met het feit dat}\\\to\qquad\displaystyle\lim_{x\to0}\;\frac{\sin^n\,ax}{x^n}=a^n\\\text{een direct gevolg van de bekende limiet}\;\lim_{x\to0}\;\frac{\sin x}{x}=1$

$\inline\\\text{Merk op dat we hetzelfde resultaat verkrijgen als we sinus weglaten!}\\\displaystyle\lim_{x\to0}\;\frac{\sin^62x-x^6}{x^6}=\lim_{x\to0}\;\frac{(2x)^6-x^6}{x^6}=\lim_{x\to0}\;\frac{64x^6-x^6}{x^6}=63$

^{gricha - vA171 - 31.3.2026}