Wiskunde Multiple Choice Vraag

$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sin\left(x^2-\frac8x\right)}{\tan(x-2)}=$	A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
E. 8

1^ste manier :
$\inline\\\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sin\left(x^2-\frac8x\right)}{\tan(x-2)}=\lim_{x\to2}\left[\frac{\sin\left(x^2-\frac8x\right)}{x^2-\frac8x}\cdot\frac{x-2}{\tan(x-2)}\cdot\frac{x^2-\frac8x}{x-2}\right]\\=\lim_{x\to2}\frac{\sin(x^2-\frac8x)}{x^2-\frac8x}\cdot\lim_{x\to2}\frac{x-2}{\tan(x-2)}\cdot\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x(x-2)}\\=1\cdot.1\cdot\lim_{x\to2}\frac{x-2)(x^2+2x)+4}{x(x-2)}=\frac{4+4+4}{2}=6$
2^de manier : met de regel van de L'Hospital
$\inline\\\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sin\left(x^2-\frac8x\right)}{\tan(x-2)}\left(=\frac00\right)\overset{H}{=}\lim_{x\to2}\frac{\cos\left(x^2-\frac8x\right)\cdot\left(2x+\frac{8}{x^2}\right)}{\frac{1}{\cos^2(x-2)}}\\=\lim_{x\to2}\frac{1\cdot\left(2x+\frac{8}{x^2}\right)}{\frac11}=\lim_{x\to2}\frac{2x^3+8}{x^2}=\frac{2.8+8}{4}=\frac{24}{4}=6$
3^de manier : "officieus"
We zien dat de argumenten van sin en tan naar nul naderen.
In dat geval naderen zowel sin x en tan x naar x.
Als we sin en tan weglaten in de opgave kunnen we proberen de limiet terug te berekenen.
Als we dezelfde uitkomst krijgen als in de 1^ste of 2^de manier mogen we er zeker van zijn dat we juist hebben gerekend.
$\inline\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sin\left(x^2-\frac8x\right)}{\tan(x-2)}=\lim_{x\to2}\frac{x^2-\frac8x}{x-2}\\=\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x(x-2)}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x(x-2)}\\=\lim_{x\to2}\frac{x^2+2x+4}{x}=\frac{4+4+4}{4}=6$

^{gricha - vA163 - 31.3.2026}