1ste manier :
(1+\cos&space;x)}{x\cdot\tan&space;x\cdot(1+\cos&space;x)}\\=\lim_{x\to\,0}\,\frac{\sin^2x}{x\cdot\tan&space;x\cdot(1+\cos&space;x)}=\lim_{x\to\,0}\frac{\sin&space;x}{x}\cdot\lim_{x\to\,0}\,\frac{\cos&space;x}{1+\cos&space;x}\\=1.\frac{1}{1+1}=\frac12&space; "\inline\displaystyle\lim_{x\to\,0}\;\frac{1-\cos x}{x\cdot\tan x}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x\cdot\tan x\cdot(1+\cos x)}\\=\lim_{x\to\,0}\,\frac{\sin^2x}{x\cdot\tan x\cdot(1+\cos x)}=\lim_{x\to\,0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to\,0}\,\frac{\cos x}{1+\cos x}\\=1.\frac{1}{1+1}=\frac12")
2de manier :
(1+\cos&space;x)}{x\cdot\tan&space;x\cdot(1+\cos&space;x)}\\=\lim_{x\to\,0}\,\frac{\sin^2x}{x\cdot\tan&space;x\cdot(1+\cos&space;x)}=\lim_{x\to\,0}\frac{\sin&space;x}{x}\cdot\lim_{x\to\,0}\;\frac{\sin&space;x}{\tan&space;x}\cdot\lim_{x\to\,0}\,\frac{1}{1+\cos&space;x}\\=1.1.\frac{1}{1+1}=\frac12\\\text{Rekening&space;houdend&space;met&space;de&space;limiet}\;\lim_{x\to\,0}\frac{\sin&space;ax}{\tan&space;bx}=\frac&space;ab&space; "\inline\displaystyle\lim_{x\to\,0}\;\frac{1-\cos x}{x\cdot\tan x}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x\cdot\tan x\cdot(1+\cos x)}\\=\lim_{x\to\,0}\,\frac{\sin^2x}{x\cdot\tan x\cdot(1+\cos x)}=\lim_{x\to\,0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to\,0}\;\frac{\sin x}{\tan x}\cdot\lim_{x\to\,0}\,\frac{1}{1+\cos x}\\=1.1.\frac{1}{1+1}=\frac12\\\text{Rekening houdend met de limiet}\;\lim_{x\to\,0}\frac{\sin ax}{\tan bx}=\frac ab")
3de manier : met de regel van de L'Hospital
\overset{H}{=}\lim_{x\to\,0}\;\frac{\sin&space;x}{\tan&space;x+\frac{x}{\cos^2x}}\\=\lim_{x\to\,0}\frac{\sin&space;x.\cos^2x}{\tan&space;x.\cos^2x+x}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{\sin&space;x.\cos^2x}{\sin&space;x.\cos&space;x+x}\left(=\frac00\right)\\=\lim_{x\to\,0}\;\frac{\cos^3x+\sin&space;x.2.\cos&space;x(-\sin&space;x)}{\cos^2x-\sin^2x+1}=\frac{1+0.2.1.(-0)}{1^2-0^2+1}=\frac12&space; "\inline\displaystyle\lim_{x\to\,0}\;\frac{1-\cos x}{x\cdot\tan x}\left(=\frac00\right)\overset{H}{=}\lim_{x\to\,0}\;\frac{\sin x}{\tan x+\frac{x}{\cos^2x}}\\=\lim_{x\to\,0}\frac{\sin x.\cos^2x}{\tan x.\cos^2x+x}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{\sin x.\cos^2x}{\sin x.\cos x+x}\left(=\frac00\right)\\=\lim_{x\to\,0}\;\frac{\cos^3x+\sin x.2.\cos x(-\sin x)}{\cos^2x-\sin^2x+1}=\frac{1+0.2.1.(-0)}{1^2-0^2+1}=\frac12")
4de manier : "officieus"
Als je een redelijk snelle controle wil van je uitkomst volgens een van de vorige gevallen,
kan je sin en tan in de opgave weglaten (zowel sin x als tan x naderen tot x als x nadert tot 0) :
(1+\cos&space;x)}{x^2(1+\cos&space;x)}\\=\lim_{x\to\,0}\;\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos&space;x)}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos&space;x)}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{x^2}{x^2(1+\cos&space;x)}\\=\lim_{x\to\,0}\;\frac{1}{1+\cos&space;x}=\frac12&space; "\inline\\\displaystyle\lim_{x\to\,0}\;\frac{1-\cos x}{x\cdot\tan x}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}\\=\lim_{x\to\,0}\;\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}=\lim_{x\to\,0}\;\frac{x^2}{x^2(1+\cos x)}\\=\lim_{x\to\,0}\;\frac{1}{1+\cos x}=\frac12")
Is het resultaat hetzelfde (zoals hier het geval is) dan mag je verdomd vertrouwen op je eerder gevonden resultaat.
gricha - vA158 - 30.3.2026
