Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Als x₁ en x₂ de twee wortels zijn van x² + x – 1 = 0, dan is \(\boldsymbol{\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}\) gelijk aan	A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
E. een irrationaal getal

1^ste manier :
De discriminant van de vierkantsvergelijking is D = 1 + 4 = 5 zodat de twee wortels zijn :
$x_1=\frac{-1+\sqrt5}{2}\quad en\quad x_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}$
Vandaar :
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-1+\sqrt5}{-1-\sqrt5}+\frac{-1-\sqrt5}{-1+\sqrt5}=(-1+5)+(-1-5)(-1-5).(-1+5)=1-25+5+1+25+51-5=12-4=-3$ 2^de manier :
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}=\frac{x_1^2+2x_1.x_2+x_2^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2}$ Vermits S = x₁ + x₂ = –1 en P = x₁.x₂ = –1 is het antwoord
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2}=\frac{\left(-1\right)^2-2.\left(-1\right)}{-1}=\frac{1+2}{-1}=-3$