|
In het vierkant zie je twee rakende cirkels met straal R en r en een kwart cirkel waarvan het middelpunt een hoekpunt is van het vierkant.
Hoe groot is de verhouding van de stralen (\(\frac{R}{r}\)) ?
|
A. \(1+\sqrt2\) |
|---|
| B. \(2\) |
| C. \(2\sqrt2\) |
| D. \(3\sqrt2-2\) |
| E. \(\frac{5}{2}\) |
| F. \(\pi - 1\) |
[ 4-A036 - op net sinds 9.4.2025-(E)- ]
Translation in E N G L I S H
Determin the fraction
R/r in the square.
|
A. \(\small1+\sqrt2\) |
|---|
| B. \(\small2\) |
| C. \(\small2\sqrt2\) |
| D. \(\small3\sqrt2-2\) |
| E. \(\frac{5}{2}\) |
| F. \(\pi - 1\) |
Oplossing - Solution
Maak de lengte van de zijden van het vierkant de lengte-eenheid.
Als je de (dalende) diagonaal tekent van het vierkant,
zie je dat deze diagonaal met lengte \(\sqrt2\) uit vier stukken bestaat met lengte
\(\small\sqrt2 R\), R, r en \(\small\sqrt2\,r\)
De lengte van R volgt uit de vergelijking
\(1 = R + \sqrt2 R = R(1+\sqrt2)\) ⇔ \(R=\frac{1}{1\,+\,\sqrt2}\)
De lengte van r volgt uit de vergelijking
\(\sqrt2-1=r+\sqrt2 r\) ⇔ \(r=\frac{\sqrt2\,-\,1}{\sqrt2\,+\,1}\)
Bijgevolg is \(\frac{R}{r}=\frac{1.(\sqrt2+1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)}=\frac{\sqrt2\,+\,1}{2\,+1}=\sqrt2+1\)
