Wiskunde Multiple Choice Vraag

Vind je een fout in de opgave, zelfs een spellingsfout of een layout die beter kan of een figuur die niet doorkomt, of een verkeerde vraag bij een opgave : gelieve mij een lege mail te sturen ( gricha@gricha.be ) met alleen in het onderwerp bv. vraag 9876 nakijken a.u.b. Bedankt !

In een zekere rechthoekige driehoek ABC verdeelt men de grootste scherpe hoek in drie gelijke delen met grootte α. Blijkt dat \|AP\| = 3 en \|PQ\| = 4. Hoe groot is het lijnstuk [QC]	A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9

Laat ons eerst |AB| bepalen (|AB|² zal al voldoende blijken) door eliminatie van α uit : $\tan{\alpha=\frac{3}{\left|AB\right|}}$ en $\tan{2\alpha=\frac{7}{|AB|}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-{\tan}^2{\alpha}}}$ $\frac{7}{|AB|}{=\frac{2\frac{3}{|AB|}}{1-\left(\frac{3}{\left|AB\right|}\right)^2}}\Leftrightarrow7-\frac{63}{\left|AB\right|^2}=6\Leftrightarrow\frac{63}{\left|AB\right|^2}=1\Longleftrightarrow\left|AB\right|^2=63$ Noemen we de lengte van het rode lijnstuk x, dan is $\frac{7+x}{|AB|}=\tan{3\alpha=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)=\frac{\tan{2\alpha+\tan{\alpha}}}{1-\tan{2\alpha.\tan{\alpha}}}}}=\frac{\frac{7}{|AB|}+\frac{3}{|AB|}}{1-\frac{21}{\left|AB\right|^2}}=\frac{\frac{10}{|AB|}}{\frac{\left|AB\right|^2-1}{\left|AB\right|^2}}=\frac{10.|AB|}{\left|AB\right|^2-21}$ $\frac{7+x}{|AB|}=\tan{3\alpha=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)=\frac{\tan{2\alpha+\tan{\alpha}}}{1-\tan{2\alpha.\tan{\alpha}}}}}=\frac{\frac{7}{|AB|}+\frac{3}{|AB|}}{1-\frac{21}{\left|AB\right|^2}}=\frac{\frac{10}{|AB|}}{\frac{\left|AB\right|^2-1}{\left|AB\right|^2}}=\frac{10.|AB|}{\left|AB\right|^2-21}$
De eerste en laatste term samen levert : $7+x=\frac{10.\left|AB\right|^2}{\left|AB\right|^2-21}=\frac{10.63}{63-21}=\frac{630}{42}=\frac{315}{21}=\frac{105}{7}=15$ Bijgevolg is x = 15 − 7 = 8