Wiskunde Multiple Choice Vraag

In een zekere rechthoekige driehoek ABC verdeelt men de grootste scherpe hoek in drie gelijke delen met grootte α. Blijkt dat \|AP\| = 3 en \|PQ\| = 4. Hoe groot is het lijnstuk [QC]	A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9

Laat ons eerst |AB| bepalen (|AB|² zal al voldoende blijken) door eliminatie van α uit : $\tan{\alpha=\frac{3}{\left|AB\right|}}$ en $\tan{2\alpha=\frac{7}{|AB|}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-{\tan}^2{\alpha}}}$ $\frac{7}{|AB|}{=\frac{2\frac{3}{|AB|}}{1-\left(\frac{3}{\left|AB\right|}\right)^2}}\Leftrightarrow7-\frac{63}{\left|AB\right|^2}=6\Leftrightarrow\frac{63}{\left|AB\right|^2}=1\Longleftrightarrow\left|AB\right|^2=63$ Noemen we de lengte van het rode lijnstuk x, dan is $\frac{7+x}{|AB|}=\tan{3\alpha=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)=\frac{\tan{2\alpha+\tan{\alpha}}}{1-\tan{2\alpha.\tan{\alpha}}}}}=\frac{\frac{7}{|AB|}+\frac{3}{|AB|}}{1-\frac{21}{\left|AB\right|^2}}=\frac{\frac{10}{|AB|}}{\frac{\left|AB\right|^2-1}{\left|AB\right|^2}}=\frac{10.|AB|}{\left|AB\right|^2-21}$ $\frac{7+x}{|AB|}=\tan{3\alpha=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)=\frac{\tan{2\alpha+\tan{\alpha}}}{1-\tan{2\alpha.\tan{\alpha}}}}}=\frac{\frac{7}{|AB|}+\frac{3}{|AB|}}{1-\frac{21}{\left|AB\right|^2}}=\frac{\frac{10}{|AB|}}{\frac{\left|AB\right|^2-1}{\left|AB\right|^2}}=\frac{10.|AB|}{\left|AB\right|^2-21}$
De eerste en laatste term samen levert : $7+x=\frac{10.\left|AB\right|^2}{\left|AB\right|^2-21}=\frac{10.63}{63-21}=\frac{630}{42}=\frac{315}{21}=\frac{105}{7}=15$ Bijgevolg is x = 15 − 7 = 8