Het is bekend dat voor elk punt P van de parabool x = y²; geldt dat de afstand tot de richtlijn (|PD|) gelijk is aan de afstand tot het brandpunt (|PF|) en dat ΔPDF dus gelijkbenig is.
Voor welke abscis a van P(a, a²) is ΔPDF gelijkzijdig ?
|
A. \(1\) |
|---|
| B. \(\frac{1}{4}\) |
| C. \(\frac38\) |
| D. \(\frac34\) |
| E. \(\frac{\sqrt3}{2}\) |
F. geen enkele a, m.a.w.
ΔPDF kan nooit
gelijkzijdig worden |
[ 6-8961 - op net sinds 10.11.2024-(E)- ]
Translation in E N G L I S H
IN CONSTRUCTION
ΔPDF equilateral for a = ?
|
|---|
Oplossing - Solution
1ste manier :
P(a, √a) F(¼ ,0) D( −¼, √a)
|DP| = |DF| als
|DP|² = |DF|²
⇔ (a + ¼ )² = ( ¼ + ¼ )² + (0 – √a)² (a > 0)
⇔ a² + ½ a + 1/16 = ¼ + a /×16
⇔ 16a² + 8a + 1 = 4 + 16a
⇔ 16a² − 8a − 3 = 0
D = 64 + 64.3 = 4.64 = 16² en vermits a positief moet zijn
a = \(\frac{8+16}{32}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}\)
2de manier :
Brandpunt is F( ¼, 0). Trek de verticale rechte f ↔ x = ¼ door F.
Zoek nu naar een punt P’ dat het spiegelbeeld is van D’ t.o.v. f.
Daar D’ ½ verwijderd is van f, zal dus ook P’ ½ verwijderd moeten zijn van f.
De abscis van P’ moet dus zijn ½ + ¼ = ¾.
Hierdoor is ΔFD’F’ gelijkbenig met top in F en is dus |D’F| = |P’F|.
De driehoek P’D’F is dus in zeker opzicht twee keer gelijkbenig, met twee verschillende toppen en kan dus niet anders zijn dan gelijkzijdig.
