Bereken de limiet

A.  1
B.  1/2
C.  e
D.  −1
E.  2
A    B    C    D    E

[ 5-8756 - op net sinds 8.11.2022-(E)-20.11.2024 ]

Translation in   E N G L I S H

A.   1
B.   1/2
C.   e
D.   −1
E.   2

Oplossing - Solution

1ste manier : met de regel van de l'Hospital

2de manier : gebruik maken van de reeksontwikkeling van ex, namelijk
    \(e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots\).   Dan is de teller  ex − x − 1  gelijk aan
    \(x^2\left(\frac{1}{2!}+\frac{x}{3!}+\frac{x^2}{4!}+...\right)\)   zodat     \(L=\displaystyle\lim_{x\to0}\;\;\left(\frac{1}{2!}+\frac{x}{3!}+\frac{x^2}{4!}+...\right)=\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}\)
3de manier : zonder de regel van de l'Hospital en zonder de reeksontwikkeling van ex
We berekenen eerst   \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\left[\left(1+x\right)^\frac{1}{x}\right]^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-1}{x}=1\)
en daarom is ook (kwadrateren van teller en noemer)   \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-2e^x+1}{x^2}=1\)   (*).
De gevraagde limiet kan ook worden geschreven als   \( L=\displaystyle\lim_{2x\to0}\frac{e^x-2x-1}{(2x)^2}\)   zodat   \(4L=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-2x-1}{x^2}\).   Uit (*) volgt dan dat


Bijgevolg (1 = 2L) is de limiet L gelijk aan \(\frac12\).
gricha