1ste manier : met de regel van de l'Hospital
=^{H}\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}\left(=\frac{0}{0}\right)\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{e^0}{2}=\frac{1}{2} "L=\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}\left(=\frac{0}{0}\right)=^{H}\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}\left(=\frac{0}{0}\right)\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{e^0}{2}=\frac{1}{2}")
2de manier : gebruik maken van de reeksontwikkeling van ex, namelijk
\(e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots\).
Dan is de teller e
x − x − 1 gelijk aan
\(x^2\left(\frac{1}{2!}+\frac{x}{3!}+\frac{x^2}{4!}+...\right)\) zodat
\(L=\displaystyle\lim_{x\to0}\;\;\left(\frac{1}{2!}+\frac{x}{3!}+\frac{x^2}{4!}+...\right)=\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}\)
3de manier : zonder de regel van de l'Hospital en zonder de reeksontwikkeling van ex
We berekenen eerst \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\left[\left(1+x\right)^\frac{1}{x}\right]^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-1}{x}=1\)
en daarom is ook (kwadrateren van teller en noemer)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-2e^x+1}{x^2}=1 \) (*).
De gevraagde limiet kan ook worden geschreven als
\( L=\displaystyle\lim_{2x\to0}\frac{e^x-2x-1}{(2x)^2}\) zodat \(4L=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-2x-1}{x^2}\). Uit (*) volgt dan dat
Bijgevolg (1 = 2L) is de limiet L gelijk aan \(\frac12\).
