Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0}\: \frac{\sqrt{x+64}-8}{\sqrt[3]{x+64}-4}=$	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 8

1^ste manier : zonder de regel van de l'Hospital
Stel t⁶ = x + 64 dan is de teller t³ − 8 en de noemer t² − 4
Daarbij zal t→2 als x → 0
De limiet kunnen we dan schrijven als
$\\\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+64}-8}{\sqrt[3]{x+64}-4} =\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{t^3-8}{t^2-4}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(t-2)(t^2+2t+4)}{(t-2)(t+2)}$
$=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{t^2+2t+4}{t+2}=\frac{4+4+4}{4}=3$
2^de manier : met de regel van de l'Hospital
$\\\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+64}-8}{\sqrt[3]{x+64}-4} =\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x+64)^\frac12-8}{(x+64)^\frac13-4}\left(=\frac00\right)$
$\overset{H}{=}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\frac12(x+64)^{-\frac12}}{\frac13(x+64)^{-\frac23}} =\frac32\lim_{x\to 0}\frac{(x+64)^\frac23}{(x+64)^\frac12}=\frac32.\frac{4^2}{8}=3$