Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 1}\;\left [ (1-x).\tan\frac{\pi x}{2} \right ]=$	A. 1
B.
C.
D. −
E. −

1^ste manier : d.m.v. de substitutie $1-x=\frac{2t}{\pi}$
⇔ $x=1-\frac{2t}{\pi}$ ⇔ $\frac{\pi.x}{2}=\frac{\pi}2-t$
Als x → 1 dan t → 0
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\;\left[(1-x).\tan\frac{\pi x}{2}\right]=\displaystyle\lim_{t\to 0}\;\left[\frac{2t}{\pi}.\tan\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\right]\\=\frac{2}{\pi}.\displaystyle\lim_{t\to 0}\;(t.\cos t)=\frac{2}{\pi}\displaystyle\lim_{t\to 0}\;\left(\frac{t}{\sin t}.\cos t\right)=\frac{2}{\pi}.1.1=\frac2{\pi}$
2^de manier : d.m.v. de regel van de l'Hospital
$\\\displaystyle\lim_{x\to 1}\;\left[(1-x).\tan\frac{\pi x}{2}\right]=\displaystyle\lim_{x\to 1}\;\frac{1-x}{\cot\frac{\pi x}{2}}\left(=\frac00\right)\buildrel H\over=\displaystyle\lim_{x\to 1}\;\frac{-1}{-\frac{1}{\sin^2\frac{\pi x}{2}}.\frac{\pi}{2}}\\=\frac{2}{\pi}\displaystyle\lim_{x\to 1}\;\sin^2\frac{\pi x}{2}=\frac{2}{\pi}.1^2=\frac{2}{\pi}$

^{gricha - v8732 - 7.4.2021}