Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Als $\displaystyle \lim_{x \to 0}\: \frac{\sqrt{a+bx}-\sqrt 3}{x}=\sqrt{3}$ dan moet a + b gelijk zijn aan	A. 0
B. 3
C. 6
D. 9
E. 12

If $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0}\: \frac{\sqrt{a+bx}-\sqrt 3}{x}=\sqrt{3}$ then a + b equals	A. 0
	B. 3
	C. 6
	D. 9
	E. 12

$\frac{\cdots}{0}$ kan alleen maar gelijk zijn aan $\sqrt3$ als we te doen hebben met een onbepaalde vorm $\frac{0}{0}$.
Dus moet $\displaystyle\lim_{x\to0}\:\left(\sqrt{a+bx}-\sqrt3\right)=0$. Dit gebeurt als $\sqrt a-\sqrt3=0\;\Leftrightarrow\;a=3$.
De gegeven limiet wordt dan
$\\\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{\sqrt{3+bx}-\sqrt3}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{(3+bx)-3}{x.(\sqrt{3+bx}+\sqrt3)}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{bx}{x.(\sqrt{3+bx}+\sqrt3)}\\=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{b}{\sqrt{3+bx}+\sqrt3}=\frac{b}{2\sqrt3}$
Uit de eis dat $\frac{b}{2\sqrt3}$ gelijk moet zijn aan $\sqrt3$ kunnen we besluiten dat b = 6.
Het antwoord is dus a + b = 3 + 6 = 9