Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De vergelijking x² + = 1 heeft GEEN reële oplossingen, wel vier complexe oplossingen. Voor die vier complexe getallen geldt dat \(\boldsymbol{\small x^3+\frac {1} {x^3} }\) gelijk is aan	A. 0
B. 1
C. − 1
D. i
E. − i

1^ste manier : som van twee kwadraten
$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right).\left(x^2-1+\frac{1}{x^2}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right).0=0$
2^de manier :
We lossen de vergelijking $x^2+\frac{1}{x^2}=1$ eerst op.
Stel y = x², dan is de resolvente vergelijking $ y+\frac{1}{y}=1\;\Leftrightarrow\;y^2-y+1=0$
Discriminant D = 1 − 4 = − 3, dus $ y_{1,2}=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}=\cos60^\circ ±i.\sin60^\circ$
Die twee oplossingen schrijf ik dikwijls als cis 60° en cis (− 60°)
[ cis α = cos α + i sin α]
x zijn de vierkantswortels van y, dus ±cis 30° en ±cis (−30°)
Gevolg : voor x = ±cis 30° is
$\\x^3+\frac{1}{x^3}=(\pm cis\,30^\circ)^3+\frac{1}{(\pm cis\,30^\circ)^3}=\pm cis\,90^\circ+\frac{1}{\pm cis\,90^\circ}\\=\pm i+\frac{1}{\pm i}=\pm i\mp i=0$
We weten dus nu het antwoord op de meerkeuzevraag en daarom is het overbodig om dezelfde berekeningen uit te voeren voor x = ±cis (− 30°)
Ten overvloede :
$\\x^3+\frac{1}{x^3}=(\pm\;cis(-30^\circ))^3+\frac{1}{(cis(-30^\circ))^3}=\pm cis(-90^\circ)+\frac{1}{\pm cis(-90^\circ)}\\=\pm(-i)+\frac{1}{\pm(-i)}=\mp\;i+\frac{1}{\mp i}=\mp\;i\pm\;i=0$