Wiskunde Multiple Choice Vraag

Als sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = 7 wat is dan de waarde van sin x + cos x ? (heel moeilijke vraag)	A. 2 + √7
B. 2 − √7
C. een geheel getal
D. 4 + √7
E. 4 − √7

If sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = 7 what is the value of sin x + cos x ? _{(very difficult question)}	A. 2 + √7
B. 2 − √7
C. an integer
D. 4 + √7
E. 4 − √7

$\sin{x}+\cos{x}+\tan{x}+\cot{x}+\sec{x}+\csc{x}=7$
$\Leftrightarrow\;sin{x}+\cos{x}+\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}+\frac{1}{\cos{x}}+\frac{1}{\sin{x}}=7$
$\Leftrightarrow\; sin{x}+\cos{x}+\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}+\sin{x}+\cos{x}}{\sin{x}.\cos{x}}=7$
$\Leftrightarrow\; sin{x}+\cos{x}+\frac{1+\sin{x}+\cos{x}}{\sin{x}.\cos{x}}=7$
Stel t = sin x + cos x ^(*) , dan is t² = (sin x + cos x)² = 1 + 2.sin x.cos x
en sin x.cos x = 1/2

(t² − 1).
De resolvente vergelijking wordt dan
$\\t+\frac{1+t}{\frac{t^2-1}{2}}=7\;\Leftrightarrow\;t+\frac{2(1+t)}{(t-1)(t+1)}=7\;\\\Leftrightarrow\;t+\frac{2}{t-1}=7$
$\Leftrightarrow\;t(t-1)+2=7(t-1)\\\Leftrightarrow\;t^2-t+2-7t+7=0\;\Leftrightarrow\;t^2-8t+9=0$
(t = 1 is "niet binnengesmokkeld")
Deze vierkantsvergelijking heeft als discriminant D
= 64 − 36 = 28 = 4.7 zodat de oplossingen zijn $ t_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt7}{2}=4\pm\sqrt7$
De oplossing met + is te verwerpen, anders zou sin x + cos x > 2 (zie ^(*) ).
We houden dus maar één getal over voor t en dus ook voor sinx + cos x = 4 −