Hoe groot is de volgende som :
1.C91+ 2.C92+ 3.C93+ 4.C94+ 5.C95
+ 6.C96+ 7.C97+ 8.C98+ 9.C99
|
A. 9 . 28 |
B. 9 . 29 |
C. 9 . 210 |
D. 10 . 28 |
E. 10 . 29 |
[ 6-8574 - op net sinds 27.10.2020-(E)-13.7.2024 ]
Translation in E N G L I S H
What is the value of
|
A. 9.28 |
B. 9.29 |
C. 9.210 |
D. 10.28 |
E. 10.29 |
Oplossing - Solution
1ste manier : niet elegant
Gewoon alle combinatiesymbolen en de alternatieven uitrekenen en de producten en sommen bepalen.
Maar wat ga je doen als ik de som zou uitbreiden tot 99 termen ?
2de manier :
\(1.C_9^1+2.C_9+3.C_9^3+4.C_9^4+5.C_9^5+ ... + 9.C_9^9\\
= 0.C_9^0+1.C_9^1+2.C_9^2+3.C_9^3+4.C_9^4+5.C_9^4+6.C_9^3+7.C_9^2+8.C_9^1+9.C_9^0\\
=9.(C_9^0+C_9^1+C_9^2+C_9^3+C_9^4)=9.\frac12.2^9=9.2^8
\)
We hebben hier rekenking gehouden met de symmetrie in de driehoek van PASCAL en het feit
dat de som van alle combinatiesymbolen van één rij in die driehoek een macht van 2 is,
t.t.z. \(\small\displaystyle\sum_{i=1}^{10} C_n^i=2^n \)
3de manier : zonder rekenwerk ! en … ook gemakkelijk uitbreidbaar tot meer termen
Beschouw een groep van 9 personen.
Hiervan bepaal je alle groepen die je kan maken met 1, 2, … 9 personen waarbij 1 bepaalde persoon als leider moet worden aangeduid : bv. 3.Cn3 is het aantal groepen dat je kan maken met 3 personen waarvan één als leider wordt aangeduid.
De gegeven formule is het totaal aantal groepen dat je zo kan maken.
Dit aantal kan ook op een andere manier worden berekend !
Kies eerst de leider : kan op 9 manieren.
Beslis daarna welke van de 8 andere je gaat nemen of niet (voor elk 2 keuzemogelijkheden : nemen of niet nemen).
Je verkrijgt zo direct de formule 9.2.2. . .2 = 9.28