Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty}\: \left ( x^2-x \right )^{\frac 2x}$ is gelijk aan	A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. e

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty}\: \left ( x^2-x \right )^{\frac 2x}$ is equal to	A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. e

Dit is een geval van ∞⁰, een onbepaalde vorm die eerst met de formule x = e^{ln x} moet getransformeerd worden.
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\:\left(x^2-x\right)^{\frac 2x}=\lim_{x\to-\infty}\:e^{\ln(x^2-x)^{\frac2x}}=\lim_{x\to-\infty}\:e^{\frac2x.\ln(x^2-x)}=\lim_{x\to-\infty}\:e^{\frac{2.\ln(x^2-x)}{x}}=\lim_{x\to-\infty}\:e^{EXPO}$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}EXPO=\lim_{x\to-\infty}\frac{2.\ln(x^2-x)}{x}=\left(\frac{+\infty}{-\infty}\right)\overset{H}{=}\lim_{x\to-\infty}\frac{2.\frac{1}{x^2-x}.(2x-1)}{1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x-2}{x^2-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x}{x^2}=\lim_{x\to-\infty}\frac4x=0$
Het antwoord is dus (niet 0 maar) e⁰ = 1
P.S. de limiet is dezelfde als x → +∞