Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De functie met voorschrift \(\small y=(x\!+\!3)\sqrt{\frac{1}{4x^2+3}} \) heeft een 'linker' en een 'rechter' horizontale asymptoot. Wat is de afstand tussen beide asymptoten ?	A. 1
B. 2
C.
D.
E. 0

We zoeken naar de rechter asymptoot y = b_r door het berekenen van
$\\b_r=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+3}{\sqrt{4x^2+3}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+3}{\sqrt{x^2{\left(4+\frac{3}{x^2}\right)}}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\sqrt{x^2{\left(4+\frac{3}{x^2}\right)}}}\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}{x\sqrt{\left(4+\frac{3}{x^2}\right)}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{4+\frac{3}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt4}=\frac{1}{2}$
We zoeken naar de linker asymptoot y = b_l door het berekenen van
$\\b_l=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+3}{\sqrt{4x^2+3}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+3}{\sqrt{x^2{\left(4+\frac{3}{x^2}\right)}}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\sqrt{x^2{\left(4+\frac{3}{x^2}\right)}}}\\=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}{-x\sqrt{\left(4+\frac{3}{x^2}\right)}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1+\frac{3}{x}}{-\sqrt{4+\frac{3}{x^2}}}=\frac{1}{-\sqrt4}=-\frac{1}{2}$
De afstand tussen de rechten met vergelijking y = 1/2

en y = −

is dus precies 1.