Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Het is gemakkelijk na te gaan dat 0 een oplossing is van $2^x-3^x=\sqrt{6^x-9^x}$ Er is nog één oplossing. Deze is	A. \(\frac{\log 2}{\log2\;-\;\log3}\)
B. \(\frac{\log 3}{\log3\;-\;\log2}\)
C. \(-\:\frac{\log 2}{\log2\;+\;\log3}\)
D. \(-\:\frac {\log 3 }{\log3\;+\;\log2}\)
E. \(-\;\sqrt3\)

Bestaansvoorwaarde : 6^x − 9^x ≥ 0 ⇔ 6^x ≥ 9^x ⇔ 1 ≥ 1,5^x ⇔ x ≤ 0
In dat geval is ook 2^x − 3^x ≥ 0 zodat we zonder meer mogen kwadrateren.
$\\2^x-3^x=\sqrt{6^x-9^x}\\\Leftrightarrow(2^x-3^x)^2=6^x-9^x\\\Leftrightarrow2^x.2^x-2.2^x.3^x+3^x.3^x=2^x.3^x-3^x.3^x\;\;\underset{:(2^x.3^x)}{}\\\Leftrightarrow\frac{2^x}{3^x}-2+\frac{3^x}{2^x}=1-\frac{3^x}{2^x}\\\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^x-3+2\left(\frac{2}{3}\right)^{-x}=0$
Stel $\left(\frac23\right)^x=y$ dan is de resolvente vergelijking $y-3+2.\frac1y=0$
⇔ y² − 3y + 2 = 0 ⇔ (y − 1).(y − 2) = 0 ⇔ y = 1 ∨ y = 2
We lossen afzonderlijk op :
a) $\left(\frac23\right)^x=1$ ⇔ x = 0 (de reeds gegeven oplossing)
b) $\left(\frac23\right)^x=2 \;\Leftrightarrow\; x.\log\frac23=\log2 \;\Leftrightarrow\; x=\frac{\log2}{\log2-\log3}=\log_{\frac23} 2 \approx -1,71$