Een punt P( x, y ) op de omtrek van de cirkel met vergelijking x² + y² = 144
laat men wentelen rond de x-as zodat een cirkel ontstaat als grondvlak van een kegel met top T(−12, 0 ).
Wat moet de abscis van P zijn opdat de inhoud van de kegel zo groot mogelijk zou zijn ?
A. 0
B. 3
C. 4
D. 6
E. a zodat Q(a,0) het lijnstuk op
de x-as (van O(0,0) tot S(12,0) ) verdeelt in de gulden snede
De straal van het grondvlak van de kegel is y of \(\sqrt{144-x^2}\).
De hoogte van de kegel is 12 + x.
Het volume V van de kegel is bijgevolg
\(V=\frac13\pi(144-x^2)(12+x)=\frac{\pi}{3}(-x^3-12x^2+144x+12^3)\)
De nulwaarden van de afgeleide van V gaan ons naar het antwoord leiden.
\(\small D\,V=\frac {\pi} {3}D(-x^3\!-12x^2\!+144x+12x^3)=\frac{\pi}{3}(-3x^2\!-24x+144)=\pi(-x^2\!-8x+48)=\pi(x-4)(-x-12)\)
Daar we een minimum mogen verwachten voor x tussen 0 en 12, en 4 de enige nulwaarde is van D V die tussen 0 en 12 ligt, mogen we gerust besluiten dat x = 4
een maximaal volume oplevert voor de kegel. Overigens is in dat geval de hoogte van de kegel 12 + 4 = 16.
