Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Een kegel met apothema a = 2 kan nog verschillende vormen aannemen : De kegel met het grootste volume heeft een grondvlak met straal R gelijk aan	A.
B.
C. π
D. 4
E. 5
F.

The cone with the largest volume has a ground plane with radius R equal to	A.
B.
C.
D.
E.
F.

We moeten proberen het volume V uit te drukken in functie van de variabele straal R en dan een maximum zoeken van V. De hoogte h van de kegel is d.m.v. de stelling van Pythagoras $h=\sqrt{a^2-R^2}=\sqrt{24-R^2}$.
Bijgevolg is het volume $V=\frac{1}{3}\pi\;R^2\sqrt{24-R^2}$.
Het maximum van V vinden we door V af te leiden naar R :
$\\\mathbf{D}_R\;V=\frac13\pi.\;\mathbf{D}_R(R^2\sqrt{24-R^2})=\frac13\pi.\;\left(2R\sqrt{24-R^2}+R^2.\frac{-2R}{\sqrt{24-R^2}}\right)\\=\frac13\pi.\frac{2R(24-R^2)-R^3}{\sqrt{24-R^2}}=\frac13\pi.\frac{-3R^3+48R}{\sqrt{24-R^2}}=\frac13\pi.\frac{3R(16-R^2}{\sqrt{24-R^2}}$
Nulwaarden van D_R V zijn − 4, 0 en 4.
Daar we in het interval $\small]\,0,\;2\sqrt6\,[$ een maximum verwachten en R = 4 de enige nulwaarde is in dat interval, mogen we zeker zijn dat R = 4 het maximum oplevert voor het volume.
Een schema met het stijgen en dalen van de functie zal dit natuurlijk bevestigen.