Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Hiernaast zie je de grafiek van de functie f. Wat is de grootste richtingscoëfficiënt die je kan tegenkomen voor een raaklijn in een punt van die kromme ? (m.a.w. zoek de steilste raaklijn)	A.
B. 1
C. 2
D. 3
E. 12

We moeten zoeken naar de grootste waarde voor de afgeleide van f(x).
$f^{\,\prime}\left(x\right)=\frac{48}{x^2+12}=\frac{-96x}{\left(x^2+12\right)^2}$
De grootste waarde van f′(x) vinden we via de nulwaarden van f″(x) (tweede afgeleide).
$\begin{aligned}&f''(x)=D\frac{-96x}{(x^2+12)^2}=\frac{-96(x^2+12)^2-(-96x).2(x^2+12).2x}{(x^2+12)^4}=\frac{-96(x^2+12)^2+96.4x^2(x^2+12)}{(x^2+12)^4}\\&=\frac{96(x^2+12)(-x^2-12+4x^2)}{(x^2+12)^4}=\frac{96(x^2+12)(3x^2-12)}{(x^2+12)^4}=\frac{96.3.(x^2+12)(x^2-4)}{(x^2+12^4}\end{aligned}$
De nulwaarden van f″(x) zijn dus −2 en +2 en het teken van f″(x) wordt volledig bepaald door x² − 4. Het teken van f″(x) evolueert dus als volgt : + 0 − 0 + zodat ↗ ↘ ↗ voor f'(x) geldt en er bijgevolg voor x = −2 een maximum is van f ′(x).
Die richtingscoëfficiënt is dan bijgevolg $f^\prime\left(-2\right)=\frac{-96.\left(-2\right)}{\left(4+12\right)^2}=\frac{32.3.2}{{16}^2}=\frac{2.3.2}{16}=\frac{3}{4}$