Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De cirkel x² + y² = 4 wordt gesneden door de rechte x = k in de punten A en B. Als men deze punten verbindt met T(− 4,0) ontstaat een gelijkbenige driehoek TAB. Voor welke waarde van k (de abscissen van A en B) is de oppervlakte van die driehoek het grootst ?	A. \(0\)
B. \(\frac12\)
C. \(\frac13\)
D. \(\frac23\)
E. \(\small\sqrt3-1\)

The circle x² + y² = 4 intersects the line x = k at the points A and B. If these points are connected to T (-4,0) an isosceles triangle TAB is created. For what value of k (the abscissa of A and B) the area of that triangle is the largest ?	A. $0$
	B. $\frac12$
	C. $\frac13$
	D. $\frac23$
	E. $\small\sqrt3-1$

De abscissen van A en B zijn $\pm\;\sqrt{4-k^2}$ zodat de basis van de gelijkbenige driehoek $2\;\sqrt{4-k^2}$ is en de hoogte 4 + x.
Hierdoor is zijn oppervlakte S gelijk aan $S=\left(4+k\right)\;\sqrt{4-k^2}$.
Voor het maximum van S te kennen bereken we zijn afgeleide naar k :
$\\D_k\;S=D_k\;\left[\;\left(4+k\right)\;\sqrt{4-k^2}\right]=\sqrt{4-k^2}+\left(4+k\right).\frac{-2k}{2\sqrt{4-k^2}}\\=\frac{4-k^2+\left(4+k\right)\left(-k\right)}{\sqrt{4-k^2}}=\frac{-2k^2-4k+4}{\sqrt{4-k^2}}$
De discriminant van −2k² − 4k + 4 is (− 4)² − 4.(− 2).4 = 4²(1 + 2) = 4².3 zodat de twee nulwaarden zijn : $k_{1,2}=\frac{4\,\pm\,4\,\sqrt3}{-4}=-1\pm\sqrt3$.
De enige waarde tussen −2 en 2 is $\sqrt3-1$ ≈ 0,732.
In de omgeving van $\sqrt3-1$ verandert D_k S van positief naar negatief zodat S van stijgen naar dalen overgaat (vergeet niet dat $\sqrt{4-k^2}\geq0)$ en $k = \sqrt3-1$ wel degelijk een maximale oppervlakte oplevert.