Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De blauwe lijn geeft de grafiek weer van y² = x².(3 − x), een grafiek die lijkt op een gespiegelde letter alfa. De rechte x = h ( 0 < h < 3) snijdt deze in twee punten die met de oorsprong een gelijkbenige driehoek vormen. Voor welke waarde van h is de oppervlakte van die driehoek maximaal ?	A. 1,5
B. 2
C.
D. 2,4
E. 2,5

IN CONSTRUCTION	A.
B.
C.
D.
E.

De rechte x = h snijdt de kromme in twee punten met y-waarde $y=\pm h\sqrt{3-h}$.
De basis (verticaal) van de driehoek heeft dus een lengte $2h\sqrt{3-h}$.
De oppervlakte $S=h^2\sqrt{3-h}$.
Om het maximum te kennen berekenen we de afgeleide van S naar h : $\\\mathbf{D_h\;S}=\;\mathbf{D_h}\;(h^2\sqrt{3-h})=2h\sqrt{3-h}+h^2\frac{1.(-1)}{2\sqrt{3-h}}=\frac{4h(3-h)-h^2}{2\sqrt{3-h}}=\frac{12h-4h^2-h^2}{2\sqrt{3-h}}=\frac{12h-5h^2}{2\sqrt{3-h}}=\frac{h(12-5h)}{2\sqrt{3-h}}$
Deze afgeleide heeft als nulwaarde 0 en 2,4.
We vermoeden dus zeer sterk dat we voor h = 2,4 een maximale waarde krijgen voor S.
Dit vermoeden wordt bevestigd door het volgend schema
h | 0 2,4 .
h(12-5h)| − 0 + 0 −
S | ↘ ↗ ^MAX ↘
(rekening houdend dat de noemer van de afgeleide positief is voor 0 < h < 3)