Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De rechte x = h ( h > 0 ) snijdt de ellips \(\small\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{7}=1\) in twee punten B en C die samen met de oorsprong een gelijkbenige driehoek vormen. Voor welke waarde van h heeft die driehoek OBC de grootste oppervlakte ?	A. \(4\)
B. \(5\)
C. \(2\sqrt2\)
D. \(\sqrt7\)
E. \(\small\sqrt{32.7.\frac{3}{53}}\)

De rechte x = h snijdt de ellips in punten waarvan de y-waarde volgen uit
$\frac{h^2}{32}+\frac{y^2}{7}=1\Leftrightarrow\frac{y^2}{7}=-\frac{h^2}{32}=\frac{32-h^2}{32}\Leftrightarrow y=\pm\sqrt{7.\frac{32-h^2}{32}}$
De basis |BC| van de driehoek heeft dus een lengte $2\sqrt{\frac{7}{32}\left(32-h^2\right)}$
De oppervlakte $S=h\sqrt{\frac{7}{32}\left(32-h^2\right)}$
Om het maximum te kennen berekenen we de afgeleide van S naar h :
$D_h S=\sqrt{\frac{7}{32}}.D_h\left(h\sqrt{32-h^2}\right)=\sqrt{\frac{7}{32}}\left(\sqrt{32-h^2}+h.\frac{1.\left(-2h\right)}{2\sqrt{32-h^2}}\right)=\sqrt{\frac{7}{32\left(32-h^2\right)}}\left(32-h^2-h^2\right)=\sqrt{\frac{7}{32\left(32-h^2\right)}}\left(32-2h^2\right)$
Nulwaarden volgen uit 32 = 2h² ⇔ h² = 16 ⇔ h = ±4
Vermits voor het tekenverloop van 32 – 2h² geldt :
h | – 4 +4 .
2(16–h²) | – 0 + 0 –
is het duidelijk dat in de omgeving van h = +4
S van stijgen naar dalen overgaat.
Het is dus (toch) antwoord A dat zorgt voor een maximale oppervlakte. N.B. De foute alternatieven zijn geenszins uit de lucht gegrepen :
ze hebben resp. te maken met : brandpunt, helft halve grote as, halve kleine as, gelijkzijdige driehoek)