Het is gemakkelijk in te zien dat de vergelijking van de (berg)parabool
y = – ½x² + 2 moet zijn.
[ (±2,0) moet oplossing zijn van y = ax² + 2 ]
De rechte y = h snijdt de parabool in abscissen die volgen uit
De kleine basis van het trapezium heeft dus een lengte \(\small 2\sqrt{4-2h}\).
Bijgevolg is de oppervlakte S van het trapezium (in functie van h) gelijk aan
=2h+h\sqrt{4-2h} "S=\frac{1}{2}h(4+2\sqrt{4-2h})=2h+h\sqrt{4-2h}")
Het maximum van S vinden we via de afgeleide van S naar h :
=2+\sqrt{4-2h}+\frac{-2h}{2\sqrt{4-2h}}=2+\frac{4-2h-h}{\sqrt{4-2h}}=2+\frac{4-3h}{\sqrt{4-2h}} "D_h\;S=D_h(2h+h\sqrt{4-2h})=2+\sqrt{4-2h}+\frac{-2h}{2\sqrt{4-2h}}=2+\frac{4-2h-h}{\sqrt{4-2h}}=2+\frac{4-3h}{\sqrt{4-2h}}")
Nulwaarde volgt uit de oplossing van
=(3h-4)^2\\&\;\Leftrightarrow\;16-8h=9h^2-24h+16\;\Leftrightarrow\;16h=9h^2\\&\;\Leftrightarrow\;16=9h\;\Leftrightarrow\;h=\frac{16}9\approx&space;1,777...\end{aligned} "2=\frac{3h-4}{\sqrt{4-2h}}\;\Leftrightarrow\;4(4-2h)=(3h-4)^2\;\Leftrightarrow\;16-8h=9h^2-24h+16\;\Leftrightarrow\;16h=9h^2\;\Leftrightarrow\;16=9h\;\Leftrightarrow\;h=\frac{16}9\approx 1,777...")
Het is gemakkelijk in te zien dat rond die waarde
D S van positief naar negatief overgaat zodat bij die waarde van h de oppervlakte wel degelijk maximaal wordt.
Een parabool met top T( 0, 2 ) snijdt de x-as in –2 en +2 en begrenst samen met de x-as een gebied waarin we een trapezium (met grote basis 4) inschrijven (zie figuur).
Welke hoogte (h) heeft het trapezium met de grootste oppervlakte ?
