Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Door het punt P(9,4) en A(a,0) trekt men een rechte die een rechthoekige driehoek afsnijdt van het eerste kwadrant. Voor welke waarde van a ( > 9 ) is de som van de lengtes van de rechthoekszijden het kleinst ?	A. 12
B. 13 (dan is de driehoek gelijkbenig)
C. 15
D. 15,5
E. 18 (dan is P het midden van de schuine zijde)

IN CONSTRUCTION	A.
B.
C.
D.
E.

De richtingscoëfficiënt m van de schuine zijde is $m=\frac{4-0}{9-a}=\frac{4}{9-a}$
De vergelijking van deze schuine zijde is dan $y=\frac{4}{9-a}(x-a)$
Deze snijdt de y-as (x gelijk aan 0 stellen) in de y-waarde $y=\frac{4a}{a-9}$
De som S van de lengtes van de rechthoekszijden is bijgevolg
$S=\frac{4a}{a-9}+a=\frac{4a+a^2-9a}{a-9}=\frac{a^2-5a}{a-9}$
Om een extremum (minimum) van S te bepalen bereken we de afgeleide van S naar a :
$\\D_a\frac{a^2-5a}{a-9}=\frac{(2a-5)(a-9)-(a^2-5a).1}{(a-9)^2}=\frac{2a^2-18a-5a+45-a^2+5a}{(a-9)^2}\\=\frac{a^2-18a+45}{(a-9)^2}=\frac{(a-15)(a-3)}{(a-9)^2}$
Nulwaarden zijn 3 en 15, pool is 9.
Dit leidt tot het volgende schema :

Voor a = 15 is de som dus het kleinst. ( De som is dan precies 25)